ESTIMATIVA DE COERCIVIDADE BILATERAL PARA O OPERADOR DE JACOBI NA CLASSE CONFORME DE SUPERFÍCIES HIPERBÓLICAS COMPACTAS

Em geometria conforme, o teorema de uniformização garante que toda classe conforme sobre uma superfície compacta de gênero $\gamma \ge 2$ contém uma métrica hiperbólica única. A energia de Calabi restrita à classe conforme fornece um funcional natural de déficit:

$\text{em que }{K}_g\text{ denota a curvatura gaussiana de}g=e^{2\psi }{g}_0\text{e}{\kappa }_0=\frac{2\pi (2\gamma -2)}{\mathrm{Area}(M,g_0)}\text{é a curvatura hiperbólica de referência.}$

As constantes satisfazem $c\ge \frac{{\lambda }_1(J{)}^2}{4C_{ell}^2}$ e ${\epsilon }_0\ge \frac{{\lambda }_1(J)}{2C_{ell}{C}_R}$, em que $C_{ell}$ depende apenas da estrutura elíptica de $J$ e $C_R$ depende da imersão de Sobolev em dimensão dois. O resultado estabelece uma estimativa quantitativa de estabilidade no regime perturbativo. Não afirma coercividade global (ver Problema em aberto 4.1). Todo o mecanismo de rigidez reduz-se a uma única condição espectral: ${\lambda }_1(J)>0$. Essa condição é suficiente e necessária para a estimativa bilateral; caso o gap espectral se anule, a cota inferior falha (Corolário 4.7).

As técnicas empregadas — regularidade elíptica, imersão de Sobolev, teoria de Fredholm — são clássicas. O que é novo é o resultado específico: a estimativa bilateral com constantes espectrais explícitas para a energia de Calabi restrita à classe conforme de superfícies hiperbólicas compactas, junto com a identificação da constante assintoticamente ótima como função espectral computável. Até onde se sabe, uma estimativa bilateral perturbativa explícita nessa forma, nesse contexto conforme, ainda não havia sido registrada.

A principal contribuição técnica é a Proposição 4.2, que estabelece uma comparação bilateral precisa entre a energia de Calabi e a norma do grafo do operador linearizado. A passagem de $\eta (g)$ para ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2(g_0)}^2$ exige o controle simultâneo de três efeitos distintos: (i) a mudança conforme de medida, $d{\mu }_g=e^{2\psi }d{\mu }_{g_0}$; (ii) o peso multiplicativo $e^{-2\psi }$ na fórmula da curvatura; (iii) o resto quadrático $Q_0(\psi )=e^{2\psi }-1-2\psi$. Nenhum desses efeitos é absorvido apenas pela regularidade elíptica. Em particular, a estimativa não segue da coercividade de $J$ isoladamente, mas de um controle acoplado de medida, pesos e restos não lineares.

A energia de Calabi e sua teoria de Euler-Lagrange são clássicas; ver Calabi (1982), Chen (2001), Chruściel (1991) e Struwe (2008). A identidade do hessiano $\text{Hess}F=2L^{i}L$ para funcionais do tipo resíduo quadrático é implícita em Bourguignon e Lawson (1981) no contexto de Yang-Mills, e em Koiso (1978, 1980) para métricas de Einstein. O presente artigo contribui com:

O arcabouço abstrato da Seção 2.3 é logicamente independente da geometria conforme: aplica-se a qualquer funcional da forma $F(u)={\Vert R(u)\Vert }^2$, em que $R$ se anula em um ponto crítico e a linearização $L=DR(u_0)$ satisfaz (H1) a (H4). A aplicação geométrica à energia de Calabi é uma instância; a mesma estrutura governa resíduos de Yang-Mills (Bourguignon; Lawson, 1981), funcionais de déficit de Einstein (Koiso, 1978, 1980) e, mais amplamente, qualquer problema variacional de resíduo quadrático com linearização elíptica e gap espectral.

Entre as referências de estabilidade quantitativa mais próximas, o trabalho de Frank e König (2024) é o mais afim em espírito: ambos os resultados estabelecem estabilidade quantitativa precisa via análise espectral de um operador elíptico associado. Os contextos geométricos são, contudo, substancialmente distintos. Frank e König estabelecem estabilidade quantitativa para o espectro de Dirichlet sob deformação do domínio — perturbações de forma da bola em ${\mathbb{R}}^n$ —, com mecanismo de estabilidade baseado em derivadas de forma e monotonicidade em relação ao domínio.

No presente artigo, o domínio $M$ é fixo, e a perturbação atua dentro de uma única classe conforme: $g=e^{2\psi }{g}_0$ com $\psi \in H_0^2(M)$. O déficit é a variância intrínseca de curvatura $\eta (g)$, e a coercividade é governada inteiramente pelo gap espectral do operador de Jacobi $J=-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}+2{\kappa }_0$ sobre o subespaço de média nula. A distinção — deformação de domínio contra deformação conforme com domínio fixo — explica as ferramentas analíticas distintas (cálculo de forma contra regularidade elíptica e álgebra de Sobolev em dimensão dois) e os papéis diferentes desempenhados pelo gap espectral em cada contexto.

Em todas as seções geométricas, $(M,g_0)$ denota uma superfície riemanniana compacta, conexa, orientável, sem bordo, de gênero $\gamma \ge 2$, munida de sua métrica hiperbólica única com curvatura $K_{g_0}\equiv -{\kappa }_0,{\kappa }_0>0$. Existência e unicidade seguem da uniformização (Aubin, 1998). Adotam-se as convenções:

(C1) Sinal do laplaciano. $\mathrm{\Delta }=i(\nabla \cdot )$ é negativo-semidefinido. Os autovalores de $-\mathrm{\Delta }$ são $0={\mu }_0<{\mu }_1\le {\mu }_2\le \dots$.

(C2) $K_{g_0}=-{\kappa }_0$ com ${\kappa }_0>0$.

(C3) Gauss-Bonnet. ${\kappa }_0=2\pi (2\gamma -2)/\text{Area}(M,g_0)$.

(C4) Fator conforme. $g=e^{2\psi }{g}_0$, com $\psi \in H^2(M)$ e ${\int }_M\psi d{\mu }_{g_0}=0$.

(C5) Mudança conforme de medida. $d{\mu }_g=e^{2\psi }d{\mu }_{g_0}$.

(C6) Norma de Sobolev. ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2={\Vert \psi \Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\nabla }_{g_0}\psi \Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\mathrm{\Delta }}_{g_0}\psi \Vert }_{L^2}^2$.

(C7) Domínio funcional. O operador $J=-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}+2{\kappa }_0$ atua sobre $H_0^2(M):=\{\psi \in H^2(M):{\int }_M\psi d{\mu }_{g_0}=0\}$.

Observação 2.1 (Casos excluídos). Na esfera $(\gamma =0)$, o grupo $PSL(2,\mathbb{C})$ gera um núcleo não trivial para $\eta$. No toro plano $(\gamma =1)$, ${\kappa }_0=0$ e ${\lambda }_{\text{min}}(J)=0$, de modo que a coercividade falha. Ambos os casos estão fora do escopo deste artigo.

A curvatura transforma-se segundo

Definição 2.2 (Operador de Jacobi). O operador de Jacobi é $$J:=-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}+2{\kappa }_0:H_0^2(M)\to L^2(M,g_0)$$ Esse operador é a linearização do resíduo de curvatura $R(\psi )=K_g+{\kappa }_0$ em $\psi =0$.

Lema 2.3 (Coercividade de $J$). O espectro de $J$ restrito a $H_0^2$ satisfaz $spec(J\upharpoonright H_0^2)\subset ℂ$. Em particular, ${\lambda }_{min}(J)={\mu }_1+2{\kappa }_0\ge 2{\kappa }_0>0$ sobre $H_0^2(M)$, e, para todo $\psi \in H_0^1(M)$:

A implicação ${\lambda }_1(J)>0\Rightarrow F(\psi )={\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2$ é coerciva segue diretamente, com $c\sim {\lambda }_1(J{)}^2$.

Prova. Os autovalores de $J$ sobre $H_0^2$ são ${\mu }_j+2{\kappa }_0$ para $j\ge 1$. Como ${\mu }_1>0$ — primeiro autovalor positivo de $-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}$, sob a condição de média nula em superfície compacta de gênero $\gamma \ge 2$ — e ${\kappa }_0>0$, todos os autovalores de $J$ sobre $H_0^2$ superam $2{\kappa }_0$. A identidade integral resulta da integração por partes em superfície compacta. ◻

Observação 2.4 (Gap espectral e domínio funcional). O valor de ${\lambda }_{min}(J)$ depende do domínio funcional: ${\lambda }_{min}(J)=2{\kappa }_0$ em $L^2(M)$ (modo constante $e_0$ presente) e ${\lambda }_{min}(J)={\mu }_1+2{\kappa }_0$ em $H_0^2(M)$ (média nula, modo constante excluído). Ao longo deste artigo, $J$ atua sobre $H_0^2(M)$ e o gap operativo é ${\lambda }_1(J)={\mu }_1+2{\kappa }_0$. Todas as constantes de coercividade dependem de ${\lambda }_1(J)={\mu }_1+2{\kappa }_0$, e não de $2{\kappa }_0$.

Definição 2.5 (Funcional quadrático). Para $\psi \in H_0^2(M)$, define-se $F(\psi ):={\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2$.

Observação 2.6 (Equivalência com $\eta$). A variância intrínseca de curvatura $\eta (g)={\Vert K_g+{\kappa }_0\Vert }_{L^2(g)}^2$ difere de $F(\psi )={\Vert J\psi \Vert }_{L^2(g_0)}^2$ por termos de peso de medida e termos não lineares. Em ordem linear em $\psi$, as duas quantidades coincidem. A estimativa bilateral para $\eta$ é obtida a partir da estimativa bilateral para $F$ via análise não linear (Seção 3).

Proposição 2.7 (Estimativa bilateral de Sobolev para $F$). Para $\psi \in H_0^2(M)$ com ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le \delta$:

em que $c=C_{reg}^{-2}$ e $C={\Vert J\Vert }_{H^2\to L^2}^2$, com $C_{reg}={\Vert J^{-1}\Vert }_{L^2\to H^2}$.

Prova. Cota inferior: a estimativa elíptica (Lema 3.8) fornece ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le C_{reg}{\Vert J\psi \Vert }_{L^2}$; logo ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2\ge C_{reg}^{-2}{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$. Cota superior: ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2\le {\Vert J\Vert }_{H^2}^{}{}_{}^{}$

Sejam $(X,{\Vert \cdot \Vert }_X)$ e $(Y,{\Vert \cdot \Vert }_Y)$ espaços de Hilbert reais separáveis, $U\subset X$ aberto e $R:U\to Y$ uma aplicação de classe $C^2$ com $R(u_0)=0$ para algum $u_0\in U$. Define-se $F(u):={\Vert R(u)\Vert }_Y^2$. A linearização é $L:=DR(u_0):X\to Y$. A fórmula universal $D^{2}F(u_0)=2L^{\ast }L$ é algébrica. Impõem-se as hipóteses seguintes:

(H1) Estimativa elíptica. Existe $C_{ell}>0$ tal que ${\Vert h\Vert }_{H^2}\le C_{ell}{\Vert Lh\Vert }_{L^2}$ para todo $h\in H_0^2(M)$, em que $H^2:=H^2(M)$ tem norma ${\Vert h\Vert }_{H^2}^2={\Vert h\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\mathrm{\nabla }}_{g_0}h\Vert }_{L^2}^2+{\Vert {\mathrm{\Delta }}_{g_0}h\Vert }_{L^2}^2$.

(H2) Propriedade de Fredholm. $L:H^2\to L^2$ é Fredholm de índice zero.

(H3) Gap espectral. $\ker L=\left\{0\right\}$ (injetividade da linearização). Isso implica ${\lambda }_1(L)>0$ e, portanto, coercividade:

em consequência, $c\sim {\lambda }_1(L{)}^2$.

(H4) Cota quadrática do resto. $R\in C^2(U,Y)$ e existe $C_R>0$ tal que ${\Vert D^{2}R(u_0)(h,h)\Vert }_{L^2}\le C_R{\Vert h\Vert }_{H^2}^2$ para todo $h$ com ${\Vert h\Vert }_{H^2}\le 1$.

Observação 2.9 (Escala de (H4)). Como a cota ${\Vert D^{2}R(u_0)(h,h)\Vert }_{L^2}\le C_R{\Vert h\Vert }_{H^2}^2$ é quadrática, estende-se por homogeneidade a todo $h$ com ${\Vert h\Vert }_{H^2}\le \rho$, para qualquer $\rho >0$, contanto que $D^{2}R$ seja uniformemente contínua em $B_{H^2}(\rho )$. Na aplicação geométrica, a continuidade uniforme de $D^{2}R$ em subconjuntos limitados de $H^2$ segue da imersão de Sobolev $H^2(M)\hookrightarrow C^0(M)$ em dimensão dois (Adams; Fournier, 2003) e da suavidade da aplicação exponencial. Isso garante que a cota em (H4), enunciada para ${\Vert h\Vert }_{H^2}\le 1$, aplica-se sem modificação na escala ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le {\epsilon }_0$ usada no Teorema 2.10.

Teorema 2.10 (Coercividade bilateral abstrata). Suponha-se que (H1) a (H4) valham. Definam-se $C_0:={\Vert L^{-1}\Vert }_{L^2\to H^2}$ e ${\epsilon }_0:=1/(2C_0{C}_R)$. Então, para todo $\psi \in H_0^2(M)$ com ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\epsilon }_0$:

com $C=2{\Vert L\Vert }_{H^2\to L^2}^2+C_R^2{\epsilon }_0^2$ e $c=(4C_0^2{)}^{-1}$.

Prova. Escreve-se $R(u_0+\psi )=L\psi +Q(\psi )$, em que $Q(\psi )={\int }_0^1(1-t)D^{2}R(u_0+t\psi )(\psi ,\psi )dt$. Por (H4) e pela Observação 2.9, ${\Vert Q(\psi )\Vert }_{L^2}\le \frac{1}{2}{C}_R{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$.

Passo 1 (Cota superior). $F(u_0+\psi )={\Vert L\psi +Q(\psi )\Vert }_{L^2}^2\le 2{\Vert L\psi \Vert }_{L^2}^2+2{\Vert Q(\psi )\Vert }_{L^2}^2\le 2{\Vert L\Vert }_{H^2\to L^2}^2{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2+\frac{1}{2}{C}_R^2{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^4$. Para ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\epsilon }_0$: $F\le C{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$.

Passo 2 (Estimativa elíptica). Por (H1) a (H3) e pela alternativa de Fredholm, $L:H^2\to L^2$ é um isomorfismo. A estimativa elíptica (Gilbarg; Trudinger, 2001) fornece ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le C_0{\Vert L\psi \Vert }_{L^2}$ para todo $\psi \in H_0^2(M)$.

Passo 3 (Cota inferior). Pela desigualdade triangular reversa, ${\Vert L\psi \Vert }_{L^2}\le \sqrt{F}+\frac{1}{2}{C}_R{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$. Combinando com o passo 2, ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le C_0\sqrt{F}+\frac{1}{2}{C}_0{C}_R{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$. Para ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le {\epsilon }_0=(2C_0{C}_R{)}^{-1}$, tem-se $\frac{1}{2}{\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le C_0\sqrt{F}$; logo $F\ge (4C_0^2{)}^{-1}{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$.

Proposição 2.11 (Dependência espectral das constantes). Sob a notação do Teorema 2.10, valem:

• (i) $C_0\le C_{ell}{\lambda }_1(L{)}^{-1}$;
• (ii) ${\epsilon }_0\ge {\lambda }_1(L)/(2C_{ell}{C}_R)$;
• (iii) $c\ge {\lambda }_1(L{)}^2/(4C_{ell}^2)$;
• (iv) as constantes dependem apenas da estrutura elíptica de $L$ e das cotas em (H1) a (H4), sendo independentes da interpretação geométrica.

Proposição 3.1 (Verificação de (H1)-(H4) para $L=J$). As hipóteses (H1) a (H4) valem para $L=J=-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}+2{\kappa }_0$ em $(M,g_0)$ compacta hiperbólica, $\gamma \ge 2$.

Prova.

(H1). $-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}$ é elíptico de segunda ordem, autoadjunto em $L^2(M,g_0)$, com espectro discreto convergente a $+\mathrm{\infty }$ pela compacidade. A soma com o operador limitado $2{\kappa }_{0}Id$ preserva essas propriedades. A estimativa elíptica segue da teoria clássica (Gilbarg; Trudinger, 2001).

(H2). Em variedade compacta sem bordo, todo operador elíptico de segunda ordem $H^2\to L^2$ é Fredholm de índice zero (Gilbarg; Trudinger, 2001).

(H3). Pelo Lema 2.3, ${\lambda }_{min}(J\upharpoonright H_0^2)={\mu }_1+2{\kappa }_0>0$.

(H4). Calcula-se explicitamente a segunda derivada de Fréchet de $R(\psi )=e^{-2\psi }(-{\kappa }_0-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}\psi )+{\kappa }_0$. Derivando duas vezes em $\psi =0$:

em que cada termo é produto ou composição de $h$ com suas derivadas até ordem dois. Em dimensão dois, $H^2(M)\hookrightarrow C^0(M)$ com constante $C_S$ (Adams; Fournier, 2003), e $H^2(M)$ é álgebra de Banach: para $f,g\in H^2$, a regra de Leibniz fornece ${\Vert fg\Vert }_{H^2}\le C_{alg}{\Vert f\Vert }_{H^2}{\Vert g\Vert }_{H^2}$. Aplicando essa propriedade a cada termo: o termo $4{\kappa }_0{h}^2$ satisfaz ${\Vert h^2\Vert }_{L^2}\le {\Vert h\Vert }_{C^0}{\Vert h\Vert }_{L^2}\le C_S{\Vert h\Vert }_{H^2}^2$; o termo $4h{\mathrm{\Delta }}_{g_0}h$ satisfaz ${\Vert h{\mathrm{\Delta }}_{g_0}h\Vert }_{L^2}\le {\Vert h\Vert }_{C^0}{\Vert {\mathrm{\Delta }}_{g_0}h\Vert }_{L^2}\le C_S{\Vert h\Vert }_{H^2}^2$; o termo ${\mathrm{\Delta }}_{g_0}(h^2)=2h{\mathrm{\Delta }}_{g_0}h+2|{\mathrm{\nabla }}_{g_0}h{|}^2$ satisfaz ${\Vert {\mathrm{\Delta }}_{g_0}(h^2)\Vert }_{L^2}\le C^{\prime }{\Vert h\Vert }_{H^2}^2$ pela estrutura de álgebra de Banach. Tomando $C_R=4{\kappa }_0{C}_S+4C_S+2C^{\prime }$, completa-se a verificação. $\square$

Denota-se por $C_S$ a constante da imersão de Sobolev ${\Vert \psi \Vert }_{C^0}\le C_S{\Vert \psi \Vert }_{H^2}$, válida na superfície compacta $M$ em dimensão dois (Adams; Fournier, 2003).

Lema 3.2 (Estimativa $L^2$ para o resto não linear). Para $\delta >0$, define-se $C_Q(\delta ):=2C_S{e}^{4C_S\delta }$. Então, para todo $\psi \in H_0^2(M)$ com ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le \delta$: ${\Vert Q(\psi )\Vert }_{L^2}\le C_Q(\delta ){\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$.

Prova. Pela fórmula da curvatura, $K_g+{\kappa }_0=e^{-2\psi }(J\psi +{\kappa }_0{Q}_0(\psi ))$, em que $Q_0(\psi )=e^{2\psi }-1-2\psi$. Para todo $t$, $|e^{2t}-1-2t|\le 2t^2{e}^{2|t|}$ (resto de Taylor). A imersão de Sobolev dá ${\Vert \psi \Vert }_{C^0}\le C_S\delta$; logo $e^{2|\psi |}\le e^{2C_S\delta }$ pontualmente. Combinando com ${\Vert e^{-2\psi }\Vert }_{L^{\infty }}\le e^{2C_S\delta }$, obtém-se a cota enunciada. $\square$

Lema 3.3 (Comparação de medidas). Para ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le \delta$ com $C_S\delta \le 1$ e todo $h\in L^2$:

Prova. Como $d{\mu }_g=e^{2\psi }d{\mu }_{g_0}$ e $|\psi |\le C_S\delta$ pontualmente, as cotas $e^{-2C_S\delta }\le e^{2\psi }\le e^{2C_S\delta }$ valem pontualmente. Integrando, obtém-se a estimativa. $\square$

Lema 3.4 (Regularidade elíptica para $J$). Existe $C_{reg}>0$, dependente apenas de $(M,g_0)$, tal que, para todo $\psi \in H_0^2(M)$: ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le C_{reg}{\Vert J\psi \Vert }_{L^2}$. Explicitamente,

Prova. Como $\ker J\upharpoonright H_0^2=\{0\}$ (Lema 2.3) e $J$ é elíptico e Fredholm, $J:H_0^2\to L^2$ é um isomorfismo. O inverso $J^{-1}$ é limitado $L^2\to H^2$ pelo teorema da aplicação aberta. Para a fórmula explícita: na base própria de $-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}$, ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2=\sum _j(1+{\mu }_j+{\mu }_j^2)|a_j{|}^2$ e ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2=\sum _j({\mu }_j+2{\kappa }_0{)}^2|a_j{|}^2$. $\square$

A redução do funcional geométrico $\eta (g)$ ao funcional linearizado $F(\psi )={\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2$ não é consequência direta da regularidade elíptica. Ela requer o controle acoplado de três efeitos multiplicativos: a distorção conforme de medida $e^{2\psi }$, o peso $W(\psi )=e^{-2\psi }$ na fórmula da curvatura, e o resto exponencial $Q_0(\psi )=e^{2\psi }-1-2\psi$ (Lemas 3.2 a 3.4).

A estratégia de prova da cota superior para $\eta$ segue um esquema de bootstrap por exclusão de esfera. Fixado um limiar ${\delta }_0>0$ pequeno, mostra-se que toda perturbação $\psi$ com $\eta (g)\le {\epsilon }_0$ pequeno e situada na componente conexa da origem em $\{\eta \le {\epsilon }_0\}$ satisfaz ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\delta }_0$. A demonstração procede por contradição: a esfera $\{{\Vert \psi \Vert }_{H^2}={\delta }_0\}$ é incompatível com $\eta \le {\epsilon }_0$ pela escolha dos parâmetros, de modo que nenhum caminho contínuo da origem pode cruzá-la dentro do conjunto de subnível.

A cota inferior resulta da Proposição 4.2, que estabelece a estrutura quadrática $\eta (g)={\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2+O({\Vert \psi \Vert }_{H^2}^3)$, combinada com a estimativa elíptica do Lema 3.4. A combinação das duas cotas produz o Teorema 1.1, com domínio de validade controlado pelo menor entre os dois limiares perturbativos.

Proposição 4.2 (Estrutura quadrática de $\eta$). Para $\psi \in H_0^2(M)$ com ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le \delta$ e $C_S\delta \le 1$:

em que

com $C_Q(\delta )=2C_S{e}^{4C_S\delta }$ do Lema 3.2. Em particular, $\eta (g)={\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2+O({\Vert \psi \Vert }_{H^2}^3)$ para $\psi$ pequeno.

A variância de curvatura admite a representação

em que $R(\psi )=J\psi +{\kappa }_0{Q}_0(\psi )$ é o resíduo de curvatura. No regime perturbativo ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le \delta$, a imersão de Sobolev fornece as cotas uniformes $e^{-2C_S\delta }\le W(\psi )\le e^{2C_S\delta }$; portanto, $W(\psi )$ é limitado acima e abaixo por constantes estritamente positivas, dependentes apenas de $(M,g_0)$ e $\delta$. Essa positividade estrita é consequência do regime perturbativo, e não uma hipótese adicional.

Prova. De $K_g+{\kappa }_0=e^{-2\psi }(J\psi +{\kappa }_0{Q}_0(\psi ))$ com $Q_0(\psi )=e^{2\psi }-1-2\psi$, obtém-se

Por outro lado, ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2={\int }_M(J\psi {)}^{2}d{\mu }_{g_0}$. A diferença decompõe-se em três termos:

Termo 1: ${\int }_M(e^{-2\psi }-1)(J\psi {)}^{2}d{\mu }_{g_0}$. Pelo teorema do valor médio, $|e^{-2\psi }-1|\le 2|\psi |e^{2|\psi |}$. Usando ${\Vert \psi \Vert }_{C^0}\le C_S\delta$, o termo é majorado por $2C_S\delta e^{2C_S\delta }{\Vert J\Vert }_{H^2\to L^2}^2{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^3$. Para $\delta$ pequeno, $2C_S\delta e^{2C_S\delta }\le e^{2C_S\delta }-1$; portanto, a majoração é $(e^{2C_S\delta }-1){\Vert J\Vert }_{H^2\to L^2}^2{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^3$.

Termo 2: ${\int }_M{e}^{-2\psi }\cdot 2{\kappa }_0{Q}_0\cdot J\psi d{\mu }_{g_0}$. Pelo Lema 3.2, ${\Vert Q_0\Vert }_{L^2}\le C_Q(\delta ){\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2/{\kappa }_0$ (restaurando o fator ${\kappa }_0$). O termo cruzado é majorado por $2e^{2C_S\delta }{\Vert J\Vert }_{H^2\to L^2}{\kappa }_0{C}_Q(\delta ){\Vert \psi \Vert }_{H^2}^3$.

Termo 3: ${\int }_M{e}^{-2\psi }{\kappa }_0^2{Q}_0^{2}d{\mu }_{g_0}$. Esse termo é majorado por $e^{2C_S\delta }{\kappa }_0^2{C}_Q(\delta {)}^2\delta {\Vert \psi \Vert }_{H^2}^3$.

A soma das três contribuições fornece a estimativa. $\square$

Teorema 4.3 (Cota superior para $\eta$). Existem ${\delta }_0>0$ e ${\epsilon }_0>0$, dependentes apenas de $(M,g_0)$, tais que, se $\psi \in H_0^2(M)$ pertence à componente conexa por caminhos da origem em $\{\eta \le {\epsilon }_0\}$, então ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le C_{upp}\sqrt{\eta (g)}$, com $C_{upp}=2C_{reg}{e}^{C_S{\delta }_0}$.

Observação 4.4 (Conexidade do conjunto de subnível). A qualificação de que $\psi$ esteja na componente conexa por caminhos da origem em $\{\eta \le {\epsilon }_0\}$ é retida no enunciado. Na geometria considerada, o regime perturbativo consiste precisamente em fatores conformes $\psi$ pequenos em $H^2$, conectados à origem pela reta $t\mapsto t\psi$ dentro do espaço de métricas admissíveis. Não se afirma nada, em geral, sobre conexidade de conjuntos de subnível em espaços de dimensão infinita; a qualificação isola o regime local onde as estimativas se aplicam.

Prova. A desigualdade a priori proveniente da fórmula da curvatura é

válida para ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le {\delta }_0$, com $A=C_{reg}{e}^{C_S{\delta }_0}$ e $B={\kappa }_0{C}_{reg}{C}_Q({\delta }_0)$.

Para deduzi-la, usa-se a decomposição do erro $K_g+{\kappa }_0=e^{-2\psi }(J\psi +{\kappa }_0{Q}_0(\psi ))$, de modo que ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2\le e^{2\psi }(K_g+{\kappa }_0{\Vert }_{L^2}^2+{\kappa }_0{\Vert Q_0(\psi )\Vert }_{L^2}$. Pelo Lema 3.3, ${\Vert e^{2\psi }(K_g+{\kappa }_0)\Vert }_{L^2(g_0)}\le e^{C_S{\delta }_0}\sqrt{\eta (g)}$.

Combinando com a estimativa elíptica e o Lema 3.2, obtém-se a desigualdade.

Escolha de parâmetros. Escolhe-se ${\delta }_0>0$ tal que $B{\delta }_0\le 1/2$ (equivalentemente, ${\kappa }_0{C}_{reg}{C}_Q({\delta }_0){\delta }_0\le 1/2$), e define-se ${\epsilon }_0:={\delta }_0^2/(16A^2)$.

Bootstrap por exclusão de fronteira. Seja $\psi \in H_0^2(M)$ com $\eta (g)\le {\epsilon }_0$. Mostra-se que ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\delta }_0$. Sobre a esfera ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}={\delta }_0$, a desigualdade a priori fornece uma cota inferior para $\eta$. Como $B{\delta }_0\le 1/2$: $1/2{\delta }_0\le 1/2{\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le A\sqrt{\eta (g)}$; logo $\eta (g)\ge {\delta }_0^2/(4A^2)=4{\epsilon }_0$. Portanto, $\{{\Vert \psi \Vert }_{H^2}={\delta }_0\}\subset \{\eta \ge 4{\epsilon }_0\}$: o conjunto de subnível $\{\eta \le {\epsilon }_0\}$ não intersecta a esfera. Como $\eta (0)=0<{\epsilon }_0$ e $\eta$ é contínuo em $H_0^2(M)$, todo caminho contínuo da origem a um ponto com ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\ge {\delta }_0$ deve cruzar a esfera — onde $\eta \ge 4{\epsilon }_0>{\epsilon }_0$. Segue-se que toda $\psi$ na componente conexa da origem em $\{\eta \le {\epsilon }_0\}$ satisfaz ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\delta }_0$.

Conclusão. Com ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\delta }_0$ estabelecido, a desigualdade fornece ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le A\sqrt{\eta (g)}+B{\Vert \psi \Vert }_{H^2}\le 2A\sqrt{\eta (g)}=C_{upp}\sqrt{\eta (g)}$. $\square$

Teorema 4.5 (Cota inferior para $\eta$). Existem ${\epsilon }_1>0$ e $c>0$ tais que, se ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\epsilon }_1$: $\eta (g)\ge c{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$, com $c=1/2C_{reg}^{-2}$.

Prova. Pela Proposição 4.2, $\eta (g)\ge {\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2-C_1{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^3$. Pelo Lema 3.4, ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2\ge C_{reg}^{-2}{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$. Daí $\eta (g)\ge {\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2(C_{reg}^{-2}-C_1{\Vert \psi \Vert }_{H^2})$. Escolhendo ${\epsilon }_1=C_{reg}^{-2}/(2C_1)$, para ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\epsilon }_1$: $\eta (g)\ge 1/2C_{reg}^{-2}{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$. $\square$

Teorema 4.6 (Resultado principal). Seja $(M,g_0)$ superfície hiperbólica compacta de gênero $\gamma \ge 2$. Defina-se ${\epsilon }_0^{\prime }:=\min ({\epsilon }_0,c_{low}{\epsilon }_1^2)$, em que ${\epsilon }_0$ vem do Teorema 4.3, ${\epsilon }_1$ do Teorema 4.5 e $c_{low}=(2C_{reg}^2{)}^{-1}$. Então, para $g=e^{2\psi }{g}_0$ com $\psi \in H_0^2(M)$ e $\eta (g)\le {\epsilon }_0^{\prime }$:

em que $C_{meas}=e^{2C_S\delta }$ é o fator de peso de medida e todas as constantes dependem apenas de $(M,g_0)$.

Prova. Os limiares são fixados nos Teoremas 4.3 e 4.5. O limiar efetivo ${\epsilon }_0^{\prime }=\min ({\epsilon }_0,c_{low}{\epsilon }_1^2)$ assegura simultaneamente que $\eta (g)\le {\epsilon }_0$ — aplicando o Teorema 4.3, com a condição de conexidade satisfeita pela Observação 4.4 — e que ${\Vert \psi \Vert }_{H^2}<{\epsilon }_1$ — aplicando o Teorema 4.5. A cota superior combina o Teorema 4.3 com a comparação de medidas (Lema 3.3); a cota inferior é o Teorema 4.5. $\square$

Corolário 4.7 (Equivalência espectral). Para superfície hiperbólica compacta $(M,g_0)$ de gênero $\gamma \ge 2$ com $K_{g_0}=-{\kappa }_0$, ${\kappa }_0>0$, são equivalentes:

• (i) ${\lambda }_1(J)>0$ sobre $H_0^2(M)$;
• (ii) existem ${\epsilon }_0>0$ e $0<c\le C<\mathrm{\infty }$ tais que $c{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2\le \eta (g)\le C{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$ para todo $\psi \in H_0^2(M)$ com $\eta (g)\le {\epsilon }_0$;
• (iii) a variância intrínseca $\eta$ realiza a norma do grafo de $J$ como métrica local sobre a classe conforme: $\eta (g)\simeq {\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$ no regime perturbativo.

Para gênero $\gamma \ge 2$, as três condições valem incondicionalmente, pois ${\lambda }_1(J)={\mu }_1+2{\kappa }_0>0$. A rigidez quantitativa da métrica hiperbólica dentro de sua classe conforme é, portanto, consequência direta e exclusiva de um único dado espectral: a positividade do gap spectral do operador de Jacobi.

Proposição 4.8 (Constante ótima). Seja $(M,g_0)$ superfície hiperbólica compacta com $K_{g_0}=-{\kappa }_0$, ${\kappa }_0>0$, e $J=-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}+2{\kappa }_0$ com autovalores ${\lambda }_j(J)={\mu }_j+2{\kappa }_0$. Define-se

Então: (i) a constante ótima $c_{opt}^2$ em ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2\ge c_{opt}^2{\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$ é $c_{opt}^2=\underset{j\ge 1}{\inf }R({\mu }_j,{\kappa }_0)=1$; (ii) o ínfimo é alcançado apenas no limite assintótico, com $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }R({\mu }_j,{\kappa }_0)=1$; (iii) para ${\kappa }_0\ge 1/2$, a função $\mu \mapsto R(\mu ,{\kappa }_0)$ é estritamente decrescente em $(0,\mathrm{\infty })$; logo $\underset{j\ge 1}{\inf }R({\mu }_j,{\kappa }_0)=R({\mu }_1,{\kappa }_0)>1$. O modo mais coercivo é, portanto, o mais baixo.

Prova. A função $R(\mu ,{\kappa }_0)$ aparece como a razão ${\Vert J{e}_j\Vert }_{L^2}^2/{\Vert e_j\Vert }_{H^2}^2$ quando $e_j$ é a $j$-ésima autofunção: ${\Vert J{e}_j\Vert }_{L^2}^2=({\mu }_j+2{\kappa }_0{)}^2$ e ${\Vert e_j\Vert }_{H^2}^2=1+{\mu }_j+{\mu }_j^2$.

Para a monotonicidade, calcula-se ${\mathrm{\partial }}_{\mu }R=(\mu +2{\kappa }_0)[2-2{\kappa }_0+\mu (1-4{\kappa }_0)]/(1+\mu +{\mu }^2{)}^2$. O fator $(\mu +2{\kappa }_0)$ é positivo para $\mu >0$. O colchete $N(\mu )=2-2{\kappa }_0+\mu (1-4{\kappa }_0)$ satisfaz, para ${\kappa }_0\ge 1/2$: $N(0)=2-2{\kappa }_0\le 0$ e o coeficiente de $\mu$ é $1-4{\kappa }_0\le -1<0$; logo $N(\mu )<0$ para todo $\mu >0$; assim, ${\mathrm{\partial }}_{\mu }R<0$. Para ${\kappa }_0<1/2$, $N(\mu )$ anula-se em ${\mu }^{*}=(2-2{\kappa }_0)/(4{\kappa }_0-1)$; esse intervalo fica fora da configuração hiperbólica, mas a fórmula aplica-se ao arcabouço abstrato.

No caso hiperbólico, ${\kappa }_0\ge 1$ (Gauss-Bonnet obriga ${\kappa }_0\ge 1$ para $\gamma \ge 2$ com normalização de área $Area=4\pi (\gamma -1)/{\kappa }_0$; a normalização padrão $K_{g_0}=-1$ dá ${\kappa }_0=1$), logo $R$ é estritamente decrescente e $\underset{j\ge 1}{\inf }R({\mu }_j,{\kappa }_0)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }R({\mu }_j,{\kappa }_0)=\underset{\mu \to \mathrm{\infty }}{\lim }(\mu +2{\kappa }_0{)}^2/(1+\mu +{\mu }^2)=1$. O ínfimo é aproximado, mas alcançado apenas no limite assintótico sobre o espectro discreto, pois cada $R({\mu }_j,{\kappa }_0)>1$ para ${\mu }_j$ finito. $\square$

Observação 4.9 (Saturação ultravioleta e dominância infravermelha). A razão de coercividade $R(\mu ,{\kappa }_0)$ exibe dois regimes distintos. No regime infravermelho, o modo mais baixo ${\mu }_1$ maximiza $R$, fornecendo $R({\mu }_1,{\kappa }_0)>1$. Esse é o modo mais coercivo: perturbações conformes de baixa frequência são estritamente mais bem controladas pelo operador de Jacobi do que pela norma de Sobolev pura. No regime ultravioleta, quando $\mu \to \mathrm{\infty }$, $R(\mu ,{\kappa }_0)\to 1$: o fundo de curvatura ${\kappa }_0$ torna-se negligenciável frente a $\mu$ e a desigualdade de coercividade aproxima-se da equivalência entre ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2$ e o quadrado da norma $H^2$ pura. A desigualdade é, portanto, assintoticamente saturada por modos de alta frequência.

A constante ótima $c_{opt}^2=1$ é determinada pela assintótica de alta frequência do espectro, não pelo menor autovetor. Este último controla o gap spectral e a taxa dinâmica, mas não a razão ótima de coercividade. A rigidez conforme é fenômeno infravermelho; a constante de coercividade, por sua vez, é ultravioleta. O fato de $c_{opt}^2=1$ ser alcançado apenas no limite assintótico reflete uma rigidez ultravioleta; a amplificação $R({\mu }_1,{\kappa }_0)>1$ captura, por sua vez, uma amplificação infravermelha governada pelos modos de baixa frequência.

A superfície de Bolza $M_B$ é a superfície de Riemann compacta de gênero dois com o maior grupo de automorfismos — $Aut(M_B)\cong GL(2,3)$, de ordem 48. Ela carrega sua métrica hiperbólica única com $K_{g_0}=-1$ (${\kappa }_0=1$) e área $Area(M_B)=4\pi$ por Gauss-Bonnet.

Dados espectrais. O primeiro autovalor positivo de $-{\mathrm{\Delta }}_g$ satisfaz ${\mu }_1(M_B)\approx 3,839$. Em $L^2(M_B)$ (modo constante incluído): ${\lambda }_{min}(J)=2{\kappa }_0=2$. Em $H_0^2(M_B)$ (média nula; gap operativo para o teorema principal): ${\lambda }_1(J)={\mu }_1+2{\kappa }_0\approx 5,839$.

Razão espectral. Para ${\kappa }_0=1$ e ${\mu }_1\approx 3,839$:

Interpretação. O valor $R({\mu }_1,1)\approx 1,741>1$ confirma que o modo mais baixo é estritamente mais coercivo do que o valor assintótico. O fato de $c_{opt}^2=1$ ser alcançado apenas no limite assintótico reflete a saturação ultravioleta descrita na Observação 4.9: a desigualdade ${\Vert J\psi \Vert }_{L^2}^2\ge {\Vert \psi \Vert }_{H^2}^2$ é assintoticamente justa, mas estritamente estrita sobre qualquer modo finito.

A segunda variação da energia de Calabi em $g_0$ é $D^{2}C{|}_{\psi =0}(\delta \psi ,\delta \psi )=\parallel J\delta \psi {\parallel }_{L^2}^2$. A norma do grafo de $J$ é $\parallel \psi {\parallel }_{G(J)}^2:=\parallel \psi {\parallel }_{L^2}^2+\parallel J\psi {\parallel }_{L^2}^2$. Como ${\lambda }_{min}(J)>0$, a regularidade elíptica fornece $\parallel \psi {\parallel }_{G(J)}\approx \parallel \psi {\parallel }_{H^2}$. O Teorema 4.6 afirma que $\eta$ — definida geometricamente e intrinsecamente computável — realiza a norma do grafo de um operador elíptico como métrica local sobre a classe conforme.

Explicitamente, a norma do domínio de $J$ é $\parallel \psi {\parallel }_{D(J)}^2:=\parallel \psi {\parallel }_{L^2}^2+\parallel J\psi {\parallel }_{L^2}^2$ e a equivalência $\parallel \psi {\parallel }_{D(J)}\approx \parallel \psi {\parallel }_{H^2}$ sobre $H_0^2(M)$ segue da estimativa elíptica do Lema 3.4.

Na linguagem das formas fechadas positivas (Kato, 1995), o funcional quadrático $q(\psi ):=\parallel J\psi {\parallel }_{L^2}^2$ com domínio $D(q)=H_0^2(M)\subset L^2(M,g_0)$ é uma forma fechada, densamente definida, estritamente positiva. Pelo teorema da representação (Kato, 1995), o par $(q,D(q))$ determina unicamente o operador autoadjunto $A=J^2$ e, com ele, todo o conteúdo espectral quadrático: autovalores, semigrupo $e^{-tA}$, resolvente e covariância de flutuação $A^{-1}$. No regime perturbativo $\parallel \psi {\parallel }_{H^2}<{\epsilon }_0$, o Teorema 4.6 estabelece equivalência completa entre a variância intrínseca $\eta$ e a forma fechada $q$; portanto, $\eta$ codifica toda a informação quadrática local da deformação conforme sem perda. Essa classificação é restrita ao regime perturbativo; se ela se estende globalmente é o conteúdo do Problema em aberto 4.1 adiante.

Observação 4.10 (Estrutura de Kato). A estimativa bilateral opera dentro da correspondência padrão entre formas fechadas positivas e operadores autoadjuntos. O conteúdo do Teorema 4.6 é a redução explícita não linear-para-linear que situa $\eta$ nesse arcabouço com constantes computáveis.

Problemas em aberto.

Problema 4.1 (Coercividade global). Vale $\eta \approx \parallel \psi {\parallel }_{H^2}^2$ sem a hipótese de pequenez $\eta \le {\epsilon }_0$?

Problema 4.2 (Convergência quantitativa do fluxo). O fluxo gradiente ${\partial }_t\psi =-\mathrm{\nabla }\eta =-2J^2\psi +(\text{termos não lineares})$ admite análise de convergência quantitativa via estabilidade do módulo mínimo de $DR(\psi )$ sobre o subespaço de média nula $H_0^2(M)$. A estimativa-chave é

que vale sob continuidade Lipschitz de $DR$ — consequência da estrutura de álgebra de Sobolev em dimensão dois — e fornece desigualdade de gradiente $\parallel \mathrm{\nabla }\eta \parallel \ge 2\tilde{c}(\sigma )\sqrt{\eta }$ de tipo Łojasiewicz-Simon com expoente $\theta =1/2$, sem exigir analiticidade real. O problema remanescente consiste em calcular o raio de aprisionamento $\sigma$ explícito e a constante efetiva $\tilde{c}(\sigma )={\lambda }_1(J)(1-M{C}_{ell}\sigma )(1-C_{corr}\sigma )$ para o modelo conforme deste artigo, e em estabelecer a estimativa de aprisionamento que garanta que a órbita permaneça no regime perturbativo. Isso fornece convergência exponencial com taxa explícita $\gamma \to 2{\lambda }_1(J{)}^2$ quando $\sigma \to 0$, conectando a coercividade bilateral do Teorema 4.6 à dinâmica de longo prazo do fluxo de curvatura. O arcabouço abstrato e a demonstração de convergência serão desenvolvidos em artigo complementar (Thimotéo, no prelo).

Problema 4.3 (Precisão de $c_{opt}$). Construir sequência ${\psi }_n\in H_0^2(M)$ com $\eta (g_n)/\parallel {\psi }_n{\parallel }_{H^2}^2\to c_{opt}^2=1$ ou demonstrar que a constante assintótica é alcançada apenas no limite no nível não linear.

Problema 4.4 (Coercividade infravermelha próxima ao limite de Selberg). Determinar o comportamento assintótico de $R({\mu }_1,{\kappa }_0)$ quando ${\mu }_1\to 1/4$ e relacioná-lo a fenômenos de concentração espectral em superfícies hiperbólicas aleatórias. Para ${\mu }_1=1/4$ — limite inferior conjectural para superfícies compactas aritméticas, cf. a conjectura de autovalores de Selberg — e ${\kappa }_0=1$:

Esse valor é mais que o dobro do valor de Bolza ($\approx 1,741$), o que sugere que superfícies com pequeno gap espectral exibem coercividade infravermelha significativamente mais forte. Uma descrição quantitativa dessa amplificação sobre $M_g$, em conexão com resultados de concentração espectral, permanece em aberto.

Conexões com temas correlatos.

Escopo dimensional. O argumento das Seções 3 e 4 depende da imersão de Sobolev $H^2(M)\hookrightarrow C^0(M)$, específica da dimensão $d=2$ (o expoente crítico de Sobolev satisfaz $2>d/2=1$). Em dimensão $d\ge 3$, a imersão $H^2\hookrightarrow C^0$ falha em geral, a propriedade de álgebra de Banach de $H^2$ se perde e as estimativas não lineares dos Lemas 3.2 e 3.3 não se transferem diretamente. Qualquer extensão à geometria conforme em dimensão superior exigiria ferramentas analíticas distintas.

Gaps espectrais em superfícies hiperbólicas aleatórias. A constante ótima $c_{opt}^2=1$ é universal — independente da superfície — mas a razão espectral infravermelha $R({\mu }_1,{\kappa }_0)$, que mede o excesso de coercividade do modo mais baixo, depende do espectro de $-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}$ e, portanto, varia sobre o espaço de módulos $M_g$ de superfícies hiperbólicas de gênero $g$. Trabalhos recentes sobre gaps espectrais fornecem previsões quantitativas para essa variação. Hide e Magee (2023) demonstraram que coberturas riemannianas aleatórias de uma superfície hiperbólica não compacta apresentam novos autovalores abaixo de $1/4-\epsilon$ com probabilidade tendendo a um. Hide, Macera e Thomas (2025) demonstraram que superfícies de Weil-Petersson aleatórias de gênero $g$ têm gap espectral pelo menos $1/4-O(g^{-c})$ para algum $c>0$, com probabilidade tendendo a um, estabelecendo concentração com taxa polinomial. Sob essa concentração, a razão infravermelha satisfaz $R({\mu }_1,{\kappa }_0)=R(1/4-O(g^{-c}),{\kappa }_0)$, convergindo a $R(1/4,{\kappa }_0)$ com taxa polinomial em $g$. Isso conecta o problema interno deste artigo — a dependência de $R({\mu }_1,{\kappa }_0)$ com a superfície — ao programa ativo de geometria espectral de superfícies hiperbólicas aleatórias.

Ação de Liouville e geometria de Teichmüller. A geometria natural para estudar $R({\mu }_1,{\kappa }_0)$ como função sobre $M_g$ é a métrica de Weil-Petersson. Takhtajan e Teo (2006) demonstraram que a ação de Liouville é um potencial de Kähler para a métrica de Weil-Petersson sobre o espaço de Teichmüller universal. Como o operador de estabilidade de Liouville $\tilde{J}=-{\mathrm{\Delta }}_{g_0}+{\kappa }_0$ governa a segunda variação dessa mesma ação no ponto crítico de curvatura constante, a geometria do problema de otimizar $R({\mu }_1,{\kappa }_0)$ sobre $M_g$ é governada por $\tilde{J}$, que é o parceiro espectral de $J_{can}$ via o deslocamento $J_{can}=\tilde{J}+{\kappa }_0$.