CONHECIMENTO MATEMÁTICO PARA O ENSINO EVIDENCIADO EM UMA TAREFA EXPLORATÓRIA COM PALITOS DE FÓSFORO
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REGISTRO DOI: 10.5281/zenodo.17705643
Anderson Azevedo Braz1
Fabiola Reggiane do Prado2
Flávia Karina dos Santos3
Jéssica Marchi4
Marlon Alonso da Silveira5
RESUMO
Este artigo apresenta a análise do Conhecimento Matemático para o Ensino (Mathematical Knowledge for Teaching – MKT), conforme proposto por Ball, Thames e Phelps (2008), evidenciado durante a implementação de uma tarefa de natureza exploratória com estudantes do 4º ano do Ensino Fundamental. A atividade, baseada na investigação de padrões por meio de figuras construídas com palitos de fósforo, integrou os estudos teóricos realizados na disciplina Conhecimento Matemático do Professor, ofertada pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná. O objetivo do estudo foi identificar os subdomínios do MKT mobilizados pelo professor durante o planejamento, a condução e a análise da aula, articulando conhecimentos matemáticos, pedagógicos e curriculares. A metodologia adotada consistiu em um estudo descritivo-qualitativo fundamentado no relato de prática, apoiado em registros da aplicação e produções dos estudantes. Os resultados evidenciam que o ensino exploratório favoreceu tanto o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos quanto a reflexão docente sobre elementos do conhecimento profissional; destacam-se manifestações do Conhecimento Especializado do Conteúdo, do Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes e do Conhecimento do Conteúdo e do Ensino. Conclui-se que atividades exploratórias constituem espaços privilegiados para a mobilização do conhecimento matemático docente e para a construção ativa de significados pelos estudantes.
Palavras-chave: Ensino exploratório. MKT. Padrões. Raciocínio matemático.
ABSTRACT
This article presents an analysis of the Mathematical Knowledge for Teaching (MKT), as proposed by Ball, Thames and Phelps (2008), evidenced during the implementation of an exploratory activity with 4th-grade students. The task, based on the investigation of patterns using matchstick-built figures, integrated the theoretical studies developed in the course Mathematical Knowledge of the Teacher, offered at the Federal Technological University of Paraná. The aim of the study was to identify the MKT subdomains mobilized by the teacher throughout the stages of planning, instruction, and reflection, articulating mathematical, pedagogical, and curricular knowledge. The methodological approach consisted of a descriptive qualitative study grounded in a practice-based report supported by records from the lesson and students’ productions. The results show that exploratory teaching fostered both the development of students’ algebraic thinking and the teacher’s reflection on professional knowledge; manifestations of Specialized Content Knowledge, Knowledge of Content and Students, and Knowledge of Content and Teaching were observed. It is concluded that exploratory tasks constitute privileged opportunities for mobilizing teachers’ mathematical knowledge and for promoting active construction of meaning among students.
Keywords: Exploratory teaching. MKT. Patterns. Mathematical reasoning.
1. INTRODUÇÃO
O ensino de Matemática na Educação Básica tem demandado cada vez mais práticas que integrem investigação, comunicação e construção ativa do conhecimento, superando abordagens estritamente transmissivas. Nesse contexto, a formação de professores assume papel central ao possibilitar reflexões sobre o conhecimento necessário para ensinar, especialmente no que se refere à articulação entre conteúdo, pedagogia e compreensão dos processos cognitivos dos estudantes. Um dos quadros teóricos que mais tem contribuído para essa discussão é o Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT), proposto por Ball, Thames e Phelps (2008), que organiza o conhecimento profissional docente em domínios e subdomínios relacionados tanto ao saber matemático quanto às demandas pedagógicas do ensino.
O presente estudo surgiu no âmbito da disciplina Conhecimento Matemático do Professor, ofertada pela UTFPR – Campus Londrina, na qual os participantes foram convidados a planejar e implementar uma tarefa de ensino baseada na abordagem exploratória. A atividade selecionada envolveu a investigação de padrões em uma sequência de figuras construídas com palitos de fósforo, inspirada no trabalho de Paula (2021), e aplicada a uma turma do 4º ano do Ensino Fundamental I.
A relevância da pesquisa decorre da necessidade de compreender como o professor mobiliza diferentes dimensões do conhecimento matemático ao propor uma atividade que exige observação, generalização e argumentação. Tal compreensão apoia tanto a formação inicial quanto a formação continuada, ao tornar explícito o papel do planejamento, da mediação e da análise reflexiva na promoção da aprendizagem matemática.
Dessa forma, o presente artigo tem como problema de pesquisa:
Quais subdomínios do Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT) são mobilizados pelo professor ao planejar, conduzir e analisar uma tarefa exploratória com palitos de fósforo? Tem como objetivo geral: Analisar as manifestações do MKT evidenciadas durante a realização da tarefa exploratória. Como objetivos específicos:
identificar os subdomínios do MKT presentes no planejamento da aula;
analisar a mediação e as interações entre professora e alunos;
discutir como o ensino exploratório contribui para o desenvolvimento do pensamento algébrico.
Justifica-se a investigação pela contribuição teórica e prática para o campo da Educação Matemática, especialmente no que se refere ao papel do professor na construção de ambientes investigativos de aprendizagem.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA OU REVISÃO DA LITERATURA
A presente seção apresenta os referenciais que sustentam a pesquisa, com foco no modelo do Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT), na abordagem exploratória e na importância dos materiais manipuláveis para o desenvolvimento do pensamento matemático como ilustra a figura abaixo:
Figura 1: Domínios do Conhecimento Matemático para o Ensino - MKT
2.1. O Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT)
O modelo do Mathematical Knowledge for Teaching (MKT), proposto por Ball, Thames e Phelps (2008), constitui um dos mais consistentes referenciais teóricos para compreender o conhecimento profissional do professor de Matemática. Os autores defendem que o conhecimento necessário para ensinar matemática de forma eficaz difere qualitativamente do conhecimento matemático utilizado em outros contextos.
O MKT é estruturado em dois grandes domínios:
Subject Matter Knowledge (SMK) – conhecimento matemático do professor;
Pedagogical Content Knowledge (PCK) – conhecimento para ensinar conteúdos matemáticos.
No âmbito do SMK, destacam-se três subdomínios:
Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) – domínio básico dos conceitos matemáticos, compartilhado por qualquer pessoa escolarizada;
Conhecimento Especializado do Conteúdo (SCK) – conhecimento matemático exclusivo do trabalho docente, envolvendo análise de erros, seleção de representações e compreensão de estruturas;
Conhecimento do Conteúdo no Horizonte (HCK) – visão da progressão dos conteúdos ao longo da escolaridade e das conexões internas da Matemática.
No domínio do PCK, integram-se:
Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes (KCS) – saberes sobre como os alunos aprendem, dificuldades previstas e estratégias típicas;
Conhecimento do Conteúdo e do Ensino (KCT) – capacidade de planejar sequências didáticas, formular boas perguntas e propor tarefas adequadas;
Conhecimento do Conteúdo e do Currículo (KCC) – compreensão das orientações curriculares e das expectativas de aprendizagem.
Segundo Ball et al. (2008), a mobilização integrada desses subdomínios é essencial para que o professor conduza aulas significativas e promova a aprendizagem matemática.
2.2. Ensino Exploratório e Ambientes Investigativos
A abordagem exploratória tem sido amplamente discutida no campo da Educação Matemática, especialmente no que diz respeito à promoção da autonomia intelectual e do raciocínio investigativo. Para Skovsmose (2000), ambientes investigativos são caracterizados pela formulação de hipóteses, pelo diálogo, pela validação de estratégias e pela problematização do conhecimento.
Nessa perspectiva, o professor deve atuar como mediador, incentivando o estudante a:
levantar conjecturas;
argumentar;
explicar procedimentos;
confrontar diferentes métodos de resolução.
De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), aulas exploratórias desenvolvem-se em três momentos estruturantes:
exploração individual ou em grupos;
discussão coletiva das ideias;
sistematização conceitual conduzida pelo professor.
Esses autores defendem que tarefas exploratórias são particularmente eficazes no desenvolvimento do pensamento algébrico, pois envolvem identificação de padrões, reconhecimento de regularidades, análise de estruturas e generalização.
Além disso, estudos como Fiorentini e Lorenzato (2012) apontam que práticas investigativas contribuem para que os estudantes compreendam o “porquê” dos procedimentos e não apenas apliquem algoritmos de forma mecânica.
2.3. O Uso de Materiais Manipuláveis no Ensino de Matemática
O emprego de materiais manipuláveis no ensino de Matemática é defendido por diversos autores como uma estratégia que facilita a construção de significados, especialmente em conteúdos abstratos. Passos (2006) destaca que objetos físicos, como palitos, blocos ou sólidos geométricos, funcionam como mediadores entre o concreto e o simbólico, permitindo que os alunos explorem relações matemáticas de forma visual e tátil.
Segundo a autora, materiais manipuláveis:
fortalecem a compreensão conceitual;
auxiliam na percepção de padrões;
permitem testar hipóteses de forma rápida;
reduzem a carga cognitiva em tarefas de maior complexidade.
No caso específico da atividade com palitos de fósforo, os estudantes conseguem observar, de maneira concreta, o crescimento regular das figuras, o que favorece o processo de generalização e a transição para representações simbólicas.
2.4. Estudos Sobre Tarefas Exploratórias com Padrões e Generalizações
Pesquisas sobre o uso de padrões geométricos como ponto de partida para o desenvolvimento do pensamento algébrico têm crescido significativamente. Paula (2021), cuja pesquisa inspirou a tarefa utilizada neste trabalho, demonstra que o estudo de padrões por meio de figuras formadas com palitos possibilita a integração entre diferentes formas de representação: tabelas, esquemas visuais, expressões algébricas e explicações verbais.
Além disso, estudos como os de Ponte et al. (2009) e Fiorentini e Lorenzato (2012) apontam que a investigação de padrões permite que o aluno:
compreenda relações de variação;
desenvolva a habilidade de prever valores;
elabore regras gerais;
interprete expressões algébricas como relações funcionais.
Nesse sentido, a literatura reforça que tarefas exploratórias envolvendo padrões constituem um ambiente privilegiado para a mobilização de diferentes dimensões do Conhecimento Matemático para o Ensino.
3. METODOLOGIA
A metodologia adotada neste estudo caracteriza-se por uma abordagem qualitativa, de natureza descritiva e interpretativa, fundamentada no relato de prática pedagógica. Esse tipo de investigação busca compreender processos, interações e significados presentes no desenvolvimento da atividade, valorizando o contexto e as produções dos participantes, conforme defendem Fiorentini e Lorenzato (2012).
O estudo foi realizado em uma escola pública da cidade de Arapongas, no Paraná, com uma turma do 4º ano do Ensino Fundamental I, composta por 20 estudantes com idades entre 9 e 10 anos. A aplicação ocorreu no âmbito da disciplina Conhecimento Matemático do Professor, ofertada pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Londrina, como parte de um processo formativo destinado a integrar teoria e prática mediante a implementação de uma tarefa exploratória.
A escolha desse nível de ensino justifica-se pelo fato de que o currículo do 4º ano contempla conteúdos relacionados à identificação de padrões, construção de tabelas e interpretação de regularidades, os quais são fundamentais para o desenvolvimento do pensamento algébrico inicial. Os estudantes foram organizados em pequenos grupos para favorecer o diálogo, a cooperação e a troca de estratégias. Um dos grupos, formado por alunos com maiores dificuldades, recebeu acompanhamento mais direto da professora, possibilitando-lhes compreender a proposta com apoio concreto e individualizado.
A tarefa utilizada — conhecida como “Tarefa dos Palitos de Fósforo” — foi adaptada de Paula (2021) e consiste em apresentar aos estudantes uma sequência de figuras crescentes formadas por palitos. A atividade tinha como objetivo levar os alunos a identificar padrões, organizar informações, elaborar estratégias próprias de resolução e formular uma expressão geral que permitisse determinar a quantidade de palitos na n-ésima figura. Foram utilizados palitos de fósforo, folhas de registro e fichas impressas contendo o enunciado da tarefa. O uso de materiais manipuláveis buscou apoiar a abstração progressiva dos estudantes, conforme defendido por Passos (2006), permitindo-lhes analisar visualmente o crescimento regular das figuras antes de transpor a situação para o registro tabelado ou simbólico.
A aplicação da tarefa seguiu a estrutura proposta por Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) para aulas exploratórias. Inicialmente, a professora realizou a apresentação e leitura coletiva da tarefa, esclarecendo dúvidas iniciais sem fornecer pistas sobre o padrão a ser encontrado, preservando o caráter investigativo da atividade. Em seguida, os estudantes passaram para a resolução em grupos, manipulando os palitos, construindo as figuras e registrando suas observações. Durante esse processo, a professora circulou entre os grupos e utilizou perguntas orientadoras para estimular o raciocínio, tais como: “O que você percebe ao comparar as figuras?” e “Como você pode prever o número de palitos sem precisar desenhar todas as figuras?”. A intenção não era direcionar as respostas, mas promover a autonomia dos alunos na construção de suas estratégias e representações.
Após a fase de exploração, realizou-se uma discussão coletiva na qual cada grupo apresentou suas soluções, permitindo o confronto de ideias, a identificação de diferentes estratégias e a justificativa de procedimentos. Esse momento foi fundamental para promover a aprendizagem socializada e ampliar a compreensão dos estudantes sobre o padrão envolvido. Por fim, ocorreu a sistematização da atividade, conduzida pela professora, na qual as representações produzidas pelos grupos foram analisadas e comparadas, culminando na formulação de expressões gerais capazes de representar a sequência apresentada na tarefa.
A coleta de dados envolveu registros escritos dos alunos, produções elaboradas durante a resolução da tarefa, fotografias das construções com palitos, anotações realizadas pela professora durante a aula e reflexões posteriores elaboradas pelo grupo responsável pelo planejamento. A análise desses materiais foi realizada de maneira interpretativa, buscando identificar manifestações dos subdomínios do Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT) ao longo do planejamento, desenvolvimento e reflexão da atividade. Para isso, as observações e produções dos estudantes foram confrontadas com o referencial teórico, especialmente com os modelos propostos por Ball, Thames e Phelps (2008), Skovsmose (2000) e Ponte et al. (2009), permitindo compreender como a prática docente se articula com o conhecimento matemático, pedagógico e curricular requerido no ensino exploratório.
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES OU ANÁLISE DOS DADOS
A classe foi organizada em grupos de quatro alunos. Um dos grupos foi composto por estudantes com maiores dificuldades, de forma a desafiá-los e permitir um acompanhamento personalizado por parte das professoras. Os demais grupos foram formados aleatoriamente.
Inicialmente, as professoras entregaram cópias da tarefa (Figura 2) e realizaram a leitura coletiva para que todos compreendessem a proposta da tarefa. Os alunos puderam manipular os palitos de fósforo para visualizar e compreender a construção das figuras. Passos (2006) indica que os materiais manipuláveis favorecem uma aprendizagem ativa, pois permitem que os alunos os toquem, movimentam e manipulem objetos que representam ideias matemáticas, favorecendo a construção de significados durante a resolução das tarefas.
Figura 2: Tarefa dos palitos de fósforo.
Durante a resolução dos grupos, as professoras circularam pela sala acompanhando os estudantes, observando as estratégias de cada equipe e incentivando o raciocínio autônomo e registro das ideias. O grupo formado com os estudantes com maiores dificuldades recebeu apoio mais direto. Para facilitar a compreensão da atividade eles colaram os palitos no papel, o que permitiu a autonomia em compreender a sequência e posteriormente a organização da tabela (Figura 3).
Figura 3: Resolução do grupo 1.
Ainda que apresentassem insegurança e baixa expectativa quanto ao próprio desempenho, os participantes conseguiram superar essas limitações e concluir a tarefa com êxito.
Outro grupo que se destacou também iniciou a resolução por meio de tabela com número da figura e quantidade de palitos correspondentes. Inicialmente identificaram que o primeiro triângulo era formado por 3 palitos, e o identificaram como “fixo”, também perceberam a regularidade do acréscimo de 2 novos palitos a cada nova figura formada. A partir dessa percepção chegaram a três respostas: a primeira seria a resolução por meio de tabela, que acreditaram ser inviável se a figura fosse um número muito alto e através de vários questionamentos conseguiram chegar a duas fórmulas, obtidas através de questionamentos e mediação das professoras.
Durante a análise com o material concreto, perceberam que havia um acréscimo de 2 palitos para formar uma nova figura e um palito servindo como “divisa” entre os triângulos chegando à expressão 2 n + 1, no qual explicaram que 2 era a progressão acrescentada, n o número da figura e o + 1 seria o palito que faz “divisa”.
Em seguida, os estudantes localizaram outra resposta: 3 + 2 (n -1). Nessa fórmula o 3 corresponde ao triângulo inicial que já está formado, 2 representa o acréscimo de palitos a cada nova figura, e o n – 1 indica o ajuste que seria necessário, porque o primeiro triângulo já está incluso no valor inicial 3.
Por exemplo, para calcular a figura 10, a expressão ficaria 3 + 2 x 9, já que o primeiro triângulo é contabilizado pelo valor inicial 3. As alunas tiveram mais dificuldades para chegar a essa fórmula e utilizaram as figuras fornecidas no enunciado até compreender que o primeiro triângulo deveria ser retirado, pois já estava contemplado no valor inicial 3.
Figura 4: Resolução do grupo 2.
Ambas as construções foram construídas através da investigação dos próprios estudantes, que, ao chegarem à sistematização no quadro conseguiram explicar e validar suas expressões com números sugeridos tanto pelas professoras quanto pelos demais alunos na plenária.
4.1. Reflexão Sobre a Atividade Proposta
A atividade desenvolvida favoreceu o aprimoramento do pensamento lógico e da habilidade de generalizar ideias, à medida que os estudantes exploraram padrões e progressões de natureza geométrica e numérica. Ao observar e montar as figuras, os alunos reconheceram regularidades e elaboraram relações que conectam a posição da figura à quantidade total de palitos utilizados, o que proporcionou uma aprendizagem ativa e voltada à investigação matemática.
Durante a atividade, observou-se o envolvimento e a curiosidade dos alunos ao perceberem que o número de palitos aumentava de forma constante a cada nova figura. As discussões entre os grupos revelaram diferentes estratégias de resolução para determinar a quantidade de palitos em qualquer posição da sequência. Essa diversidade de abordagens evidencia a riqueza do ensino exploratório, pois permite que os alunos construam o conhecimento a partir de suas próprias ideias e representações.
As previsões elaboradas durante o planejamento favoreceram o desenvolvimento eficaz da aula, pois a professora se encontrava pronta para conduzir as diferentes formas de raciocínio e os desafios apresentados pelos estudantes. Essa preparação reflete o que Ponte, Brocardo e Oliveira (2009) destacam sobre o papel do professor em aulas exploratórias: orientar o raciocínio dos alunos sem retirar deles o protagonismo do processo investigativo.
A seleção dessa atividade revelou-se adequada por integrar a análise de padrões visuais à sua tradução simbólica, favorecendo a compreensão das relações entre quantidades e expressões matemáticas. De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009), tarefas cuidadosamente planejadas devem criar situações que incentivem os alunos a explorar ideias, levantar hipóteses e argumentar sobre suas conclusões, elementos que se manifestaram de forma significativa durante o desenvolvimento desta proposta.
Como ponto de reflexão, observou-se que alguns alunos apresentaram dificuldade em transpor o raciocínio aritmético para uma expressão generalizada, demonstrando a necessidade de retomar, em futuras atividades, o conceito de relação entre grandezas e padrões de variação. Essa constatação reforça o que Fiorentini e Lorenzato (2012) afirmam: o ensino da Matemática deve promover situações em que os alunos compreendam o “porquê” das regras e não apenas apliquem procedimentos.
Por fim, a atividade dos palitos de fósforo mostrou-se uma oportunidade valiosa para o desenvolvimento do pensamento algébrico e para a consolidação da aprendizagem por meio do ensino exploratório, destacando o papel do professor como mediador e incentivador do diálogo matemático em sala de aula.
5. CONCLUSÃO/CONSIDERAÇÕES FINAIS
A execução da atividade possibilitou evidenciar diversas dimensões do Conhecimento Matemático para o Ensino (MKT), conforme a estrutura apresentada por Ball, Thames e Phelps (2008). Durante o planejamento e a aplicação da proposta, observou-se a mobilização de subdomínios como o Conhecimento do Conteúdo e do Ensino, o Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes e o Conhecimento Especializado do Conteúdo, os quais se integraram de forma harmônica à perspectiva do ensino exploratório.
Durante o desenvolvimento da atividade, a docente demonstrou o Conhecimento do Conteúdo e dos Estudantes. Essa postura permitiu compreender as distintas maneiras de raciocinar presentes na turma e intervir de forma coerente, mantendo a autonomia e o papel ativo dos estudantes na construção do conhecimento. O Conhecimento do Conteúdo e do Ensino manifestou-se nas decisões pedagógicas tomadas para organizar as discussões coletivas, definir a ordem das apresentações e valorizar as múltiplas abordagens utilizadas pelos grupos.
O Conhecimento Especializado do Conteúdo manifestou-se quando a professora estabeleceu conexões entre as descobertas dos estudantes e suas representações simbólicas, auxiliando-os na formulação de uma regra geral que expressasse a relação observada. Essa ação demonstrou domínio conceitual e metodológico, transformando uma atividade concreta, a montagem com palitos, em uma oportunidade de compreender conceitos abstratos e algébricos.
De modo geral, a experiência evidenciou como o ensino exploratório favorece o desenvolvimento do MKT, ao requerer do professor uma postura investigativa e reflexiva frente às produções dos alunos. Dessa forma, a tarefa não apenas estimulou o raciocínio algébrico dos estudantes, mas também se constituiu em um espaço formativo para o docente, promovendo a articulação entre conteúdo matemático, prática pedagógica e reflexão sobre o ensino, elementos essenciais à atuação profissional na Educação Matemática.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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SKOVSMOSE, Ole. Cenários para investigação. Bolema, Rio Claro, v. 13, n. 14, p. 66-91, 2000.
1 Discente do Curso de pós graduação (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Londrina. E-mail: [email protected]
2 Discente do Curso de pós graduação (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Londrina. E-mail: [email protected]
3 Discente do Curso de pós graduação (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Londrina. E-mail: [email protected]
4 Discente do Curso de pós graduação (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Londrina. E-mail: [email protected]
5 Discente do Curso de pós graduação (PPGMAT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Londrina. E-mail: [email protected]