IDENTIFICAR NÚMERO PRIMOS EM INTERVALOS

REGISTRO DOI: 10.70773/revistatopicos/787132749

RESUMO
Este artigo analisa a distribuição e a identificação de números primos na escala aritmética por meio de um método determinístico de filtragem em intervalos discretos. O estudo investiga as propriedades estruturais de elementos contidos nas classes de resíduos adjacentes aos múltiplos de seis (6k mais ou menos 1), isolando os números primos dos elementos compostos gerados por produtos fatoriais e potências de bases primas. O objetivo geral consiste em validar a eficácia de um algoritmo de triagem e mensurar a densidade de primariedade à medida que se expande o limite superior da escala numérica. A metodologia adotada possui abordagem quantitativa e exploratória, implementada computacionalmente por meio de rotinas lógicas e codificação cromática condicional no software Microsoft Excel. O universo amostral abrangeu desde domínios basais até um intervalo macroscópico de sete dígitos (994.008 a 1.018.080), totalizando 24.072 inteiros. Os resultados revelam que, embora o subconjunto de adjacência de 6k corresponda a 33,333% do domínio total, a infiltração progressiva de compostos reduz a taxa de primariedade a 7,348787% do intervalo global e a 22,046361% dentro das ordens 6k mais ou menos 1. Conclui-se que os objetivos foram plenamente atingidos, confirmando a hipótese de que a densidade de números primos é inversamente proporcional ao avanço da escala aritmética. O modelo proposto oferece uma contribuição prática de baixo custo computacional para a auditoria de matrizes numéricas e visualização na Teoria dos Números.
Palavras-chave: Números Primos; Aritmética Modular; Planilha Eletrônica; Filtragem Algorítmica; Densidade Numérica.

ABSTRACT
This article analyzes the distribution and identification of prime numbers along the arithmetic scale through a deterministic filtering method in discrete intervals. The study investigates the structural properties of elements contained in the residue classes adjacent to multiples of six (6k more or less 1), isolating prime numbers from composite elements generated by factorial products and powers of prime bases. The general objective is to validate the efficacy of a screening algorithm and measure the density of primality as the upper limit of the numerical scale expands. The methodology adopts a quantitative and exploratory approach, computationally implemented through logical routines and conditional chromatic coding in Microsoft Excel software. The sample universe ranged from basal domains to a macroscopic seven-digit interval (994,008 to 1,018,080), totaling 24,072 integers. The results reveal that although the adjacency subset of 6k corresponds to 33.333% of the total domain, the progressive infiltration of composites reduces the primality rate to 7.348787% of the global interval and to 22.046361% within the 6k more or less 1 order. It is concluded that the objectives were fully achieved, confirming the hypothesis that the density of prime numbers is inversely proportional to the advancement of the arithmetic scale. The proposed model offers a low computational cost practical contribution to numerical matrix auditing and visualization in Number Theory.
Keywords: Prime Numbers; Modular Arithmetic; Electronic Spreadsheet; Algorithmic Filtering; Numerical Density.

1. INTRODUÇÃO

O estudo dos números primos e de suas propriedades de distribuição representa uma das fronteiras teóricas mais tradicionais e desafiadoras no âmbito da Teoria dos Números. Historicamente, a busca por padrões de regularidade ou por mecanismos determinísticos que permitam isolar e classificar esses elementos de maneira célere tem mobilizado matemáticos e cientistas da computação (Santos, 2021). Embora os números primos pareçam dispersos aleatoriamente ao longo da reta numérica, a análise de suas propriedades modulares revela restrições estruturais bem definidas. Entre essas propriedades, destaca-se o fato consagrado de que todo número primo maior que três está confinado, obrigatoriamente, nas famílias de resíduos adjacentes aos múltiplos de seis, ou seja, estruturados sob as formas lineares 6k - 1 e 6k mais ou menos 1 (Silva; Oliveira, 2020).

Entretanto, uma das principais incertezas e preocupações que cercam a aplicação prática dessa propriedade é que tais classes de adjacência não abrigam exclusivamente elementos primos. À medida que o limite superior da escala aritmética se expande, as coordenadas 6k mais ou menos 1 passam a ser progressivamente "infiltradas" por números compostos, gerados pela multiplicação e potenciação de fatores primos de ordens inferiores, como os produtos das formas (6lambda - 1) (6lambda + 1) (Garcia, 2024). Essa infiltração contínua gera uma complexidade crescente no processamento de dados e na triagem de primariedade, exigindo métodos determinísticos que sejam ao mesmo tempo seguros, precisos e de fácil execução computacional (Almeida; Costa, 2022).

Nesse contexto, a problematização que dá origem a esta pesquisa emerge da prática e da vivência direta do pesquisador no manuseio e análise de matrizes numéricas extensas em ambiente de planilha eletrônica (Microsoft Excel). Ao observar o comportamento de números inteiros em escalas que variam dos domínios basais até a ordem dos milhões (10⁶), constatou-se a seguinte questão de pesquisa: Como estruturar um método determinístico e visual de filtragem algorítmica, baseado na exclusão de compostos nas ordens 6k mais ou menos 1, que permita identificar números primos com precisão e demonstrar analiticamente o decréscimo de sua densidade à medida que se avança na escala numérica?

A justificativa para o desenvolvimento desta pesquisa fundamenta-se tanto na sua relevância teórica quanto na sua aplicabilidade prática. Do ponto de vista teórico, o estudo justifica-se pela necessidade de aprofundar a compreensão sobre a dinâmica de densidade dos números primos em partições discretas, oferecendo uma visualização clara e geométrica de como o avanço na escala aritmética gera um acréscimo de produtos e potências de bases primas, retraindo percentualmente a ocorrência de primos nas classes 6k mais ou menos 1.

Do ponto de vista prático e aplicado, a motivação do pesquisador apoia-se na busca por soluções acessíveis e de baixo custo computacional para a auditoria de dados numéricos. Enquanto a verificação de primariedade em grandes volumes de dados costuma exigir algoritmos complexos e elevado poder de processamento, a sistematização do mapeamento por codificação cromática condicional reduz o universo de análise a apenas um terço (3,333 do domínio total (Vieira, 2021). Dessa forma, a pesquisa demonstra como ferramentas cotidianas de planilha eletrônica podem ser otimizadas para simulações matemáticas precisas, servindo de suporte tanto para pesquisas em criptografia e teoria dos números quanto para metodologias de ensino de exatas.

Para responder ao problema formulado e consolidar o percurso analítico — partindo das propriedades gerais da aritmética modular até a análise específica do intervalo de sete dígitos —, este trabalho estabeleceu os seguintes objetivos:

Objetivo Geral: Propor, aplicar e validar um método determinístico de filtragem em planilhas eletrônicas para a identificação de números primos e a mensuração de sua densidade percentual em diferentes partições discretas da escala numérica.

Objetivos Específicos:

• Mapear as restrições geométricas e estruturais da ocorrência de primos e primos gêmeos na primeira e segunda centenas em função da terminação dos múltiplos de seis;

• Implementar rotinas lógicas e codificação cromática condicional no Microsoft Excel para isolar os compostos das formas (6\ lambda mais ou menos 1) no intervalo específico de 994.008 a 1.018.080;

• Quantificar e comparar as taxas percentuais de primariedade no domínio total do intervalo e no subconjunto de adjacência de 6k, ratificando a relação de proporcionalidade inversa entre a densidade de números primos e o avanço da escala aritmética.

2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA OU REVISÃO DA LITERATURA

2.1. Referencial Teórico Estado da Arte

A expressão matemática utilizada neste estudo encontra-se devidamente registrada e averbada junto ao Escritório de Direitos Autorais da Biblioteca Nacional (Rio de Janeiro), o que certifica sua originalidade e fundamenta seu uso como ponto de partida para investigações científicas. Essa formulação constitui a ferramenta analítica central para a delimitação dos intervalos amostrais, viabilizando a identificação e o mapeamento de números primos com elevado rigor metodológico e precisão matemática. A aplicação desse modelo proporciona uma abordagem estruturada para o exame das propriedades aritméticas nos subconjuntos numéricos estabelecidos.

Figura 01. O método que identificamos os números primos com segurança e precisão.

A análise subsequente dos intervalos numéricos delimitados visa demonstrar a viabilidade algorítmica e a eficiência analítica do modelo na triagem de elementos primos. A construção dessas partições intervalares, fundamentada em critérios algébricos restritivos, permite segmentar a reta numérica em subconjuntos finitos nos quais a distribuição e a densidade de números primos são investigadas de maneira sistemática. Do ponto de vista metodológico, a parametrização do domínio em intervalos discretos viabiliza uma abordagem estruturada, mitigando o esforço computacional necessário para a validação de primariedade e elevando o grau de determinismo lógico em cada faixa considerada. Desse modo, a validação empírica dos dados visa consolidar a consistência estatística do método proposto, bem como sua relevância para o mapeamento da função de contagem de primos na escala numérica geral.

Tabela 2. identifica os números primos no intervalo de um a seis

Fonte: o autor

O elemento 2 é definido como número primo por se configurar como o único número par a admitir exatamente dois divisores positivos distintos: a unidade e si mesmo. O número 3 qualifica-se como primo por constituir o menor inteiro positivo ímpar dotado dessa mesma propriedade conjuntista, estabelecendo-se como o elemento gerador inicial dos múltiplos de três. De forma análoga, o número 5 também é classificado como primo, caracterizando-se como o primeiro inteiro ímpar primo a anteceder o número 6, o qual representa o menor múltiplo composto de três.

No domínio dos intervalos sob análise, constata-se uma distribuição em que, aproximadamente, 50% dos elementos compreendidos correspondem a números primos, enquanto os 50% restantes do total de termos da partição supracitada constituem números compostos.

No conjunto dos números naturais, verifica-se que os elementos 9, 15, 21, 27, 33 e 39 integram a classe dos múltiplos de três e, por conseguinte, são estruturas compostas. Em contrapartida, os elementos 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47... são formalmente catalogados como números primos, haja vista que possuem estritamente dois divisores positivos distintos em sua estrutura aritmética.

Adicionalmente, o número 25 é classificado como um número composto por se configurar como a potência quadrada de um elemento primo, expresso por 5² = 25. De modo semelhante, o número 35 também é composto, sendo obtido por meio do produto de dois fatores primos distintos, sob a operação aritmética 5 X 7 = 35. Ao considerar a fronteira do intervalo a partir de 24, definido algebricamente por 5² - 1 = 24, constata-se que os elementos que antecedem ou sucedem os múltiplos de seis são passíveis de representação analítica por meio da forma linear 6k mais ou menos 1, onde k pertence a N*.

Tabela 3. demostra números múltiplos de três, os que antecedem e sucedem múltiplos de seis

Fonte: o autor

Contudo, embora essa lei de formação englobe a totalidade dos números primos maiores ou iguais a cinco — representados na sequência inicial pelos elementos 7, 11, 13, 17, 19 e 23 —, nem todos os inteiros que satisfazem a propriedade estrutural de adjacência aos múltiplos de seis são necessariamente primos. Essa insuficiência analítica é evidenciada pelo próprio comportamento do número 25 que, apesar de se enquadrar estritamente na referida forma linear, constitui um número composto.

Desse modo, conclui-se que a propriedade de anteceder ou suceder múltiplos de seis estabelece um critério necessário, porém insuficiente, para a determinação de primariedade, tornando indispensável a aplicação de testes adicionais de divisibilidade para a validação definitiva dos elementos primos dentro do domínio considerado.

No intervalo sob análise, constata-se que os elementos adjacentes aos múltiplos de seis são passíveis de representação algébrica pelas formas lineares (6k + 1), caracterizando o sucessor, e (6k - 1), definindo o antecessor. Tais configurações englobam a totalidade dos candidatos à primariedade no domínio dos inteiros p maior ou igual a 5. No entanto, ressalta-se que o enquadramento nessa propriedade estrutural não assegura, de forma isolada, a primariedade do elemento, tornando imperativa a aplicação de testes complementares de divisibilidade para a sua validação convergente.

No que concerne aos números compostos ímpares gerados por essa lei de formação no intervalo, verifica-se que a sua ocorrência decorre da combinação multiplicativa de fatores primos ímpares pertencentes às próprias classes de resíduos adjacentes a seis. A decomposição analítica desses elementos compostos evidencia a relevância de fatores determinantes mínimos na malha aritmética, permitindo mapear padrões sistemáticos de distribuição. Desse modo, o exame correlacionado dos algarismos frente aos múltiplos de seis e às suas bases fatoriais configura-se como um instrumento metodológico eficaz, embora não definitivo, para a triagem e investigação de primariedade em partições numéricas específicas.

Exemplos:

Tabela 4. demonstra o produto do número três por números ímpares

Fonte: o autor

Propõe-se, a seguir, a demonstração do intervalo compreendido entre 24 e 48, com ênfase na análise dos elementos que antecedem ou sucedem múltiplos de seis contidos no referido intervalo. Esse procedimento visa evidenciar a propriedade estrutural dos números da forma 6k mais ou menos 1 dentro do domínio considerado, os quais constituem elementos candidatos à primariedade.

A partir dessa abordagem, busca-se examinar de maneira sistemática a distribuição desses numerais, bem como suas propriedades aritméticas intrinssecas, de modo a contribuir para a identificação e a compreensão do comportamento dos números primos presentes nesse conjunto numérico.

Tabela 5. no intervalo (24, 48) (25, 35) são números compostos

Fonte: o autor

No intervalo compreendido entre 24 e 48, constata-se uma distribuição estatística específica entre elementos primos e compostos, particularmente no subconjunto dos números adjacentes aos múltiplos de seis, isto é, gerados pela forma 6k mais ou menos 1. Nesse conjunto amostral, aproximadamente 12,5% dos números correspondem a elementos compostos definidos por potências de números primos, conforme exemplificado por 5² = 25. Outros 12,5% constituem números compostos resultantes do produto de dois fatores primos distintos, sob a forma 35 = 5 \times 7. Por fim, 75% dos números antecedentes ou sequentes dos múltiplos de seis, a saber: 29, 31, 37, 41, 43 e 47, são formalmente validados como números primos neste intervalo.

Essa distribuição evidencia uma regularidade geométrica na ocorrência de números primos entre os antecessores e sucessores de múltiplos de seis dentro do intervalo analisado. Contudo, ressalta-se que, embora a forma 6k mais ou menos 1 se configure como uma propriedade intrínseca dos números primos maiores ou iguais a cinco, ela não constitui, isoladamente, um critério suficiente para garantir a primariedade, sendo mandatória a verificação complementar por meio de testes determinísticos de divisibilidade.

Apresenta-se, na sequência, a análise analítica dos antecedentes e sequentes dos múltiplos de seis no intervalo compreendido entre 48 e 120. Esse mapeamento tem por finalidade examinar a distribuição dos números da forma 6k mais ou menos 1 nessa região do domínio numérico, os quais constituem elementos com potencial de primariedade.

A partir dessa investigação, busca-se identificar padrões na ocorrência de termos primos e compostos, bem como compreender as propriedades aritméticas associadas a esses números. Tal abordagem concorre para a sistematização do método proposto e para o aprofundamento da análise da função de distribuição dos números primos em intervalos específicos e na escala numérica global.

Tabela 6. nesse intervalo os múltiplos de 5 e 7 são números compostos

Fonte – o autor

No intervalo compreendido entre 48 e 120, identificam-se como números primos os seguintes elementos: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 e 113. Esses valores absolutos correspondem a aproximadamente 20,83% do total de números inteiros contidos no intervalo considerado.

No que concerne aos números compostos da referida faixa, constata-se que uma parcela restrita provém de potências quadráticas de elementos primos, a exemplo de 7² = 49, o que representa cerca de 1,39% do conjunto amostral total. Adicionalmente, identificam-se compostos originados pelo produto de dois fatores primos ímpares e distintos, tais como 55, 65, 77, 85, 91, 95, 115 e 119, perfazendo aproximadamente 9,72% dos elementos do intervalo.

No contexto dos números adjacentes aos múltiplos de seis — isto é, estruturados sob a forma linear 6k mais ou menos 1—, verifica-se que os elementos compostos indexados nesse subconjunto são determinados, em sua maioria, pelo produto de fatores primos estritamente menores que 11² = 121. Esse comportamento reitera a influência direta de bases fatoriais mínimas na composição e na filtragem de elementos não primos pertencentes a essa classe de resíduos.

Dando continuidade à análise distributiva, considera-se subsequencialmente o intervalo compreendido entre 120 e 168. Nesta partição, destacam-se os termos que antecedem ou sucedem os múltiplos de seis, os quais são mapeados e organizados nos subconjuntos estruturais a seguir.

Tabela 7. identificam os números primos no intervalo de (120 a 168).

Fonte – o autor

Nesse intervalo, os elementos primos validados são: 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163 e 167; os quais representam uma densidade de aproximadamente 56,25% dos termos estruturados sob a forma linear 6k mais ou menos 1.

Entre os números compostos gerados nessa mesma classe de resíduos, destaca-se a ocorrência de potências de elementos primos, tais como 121 = 11² e 125 = 5³, que perfazem cerca de 6,25% do subconjunto analisado. Adicionalmente, constatam-se compostos originados pelo produto de fatores primos distintos, a exemplo de 133, 143, 145, 155 e 161, totalizando aproximadamente 31,25% dos elementos da partição.

Considerando a totalidade dos números inteiros contidos no intervalo de 120 a 168, verifica-se que aproximadamente 19,15% correspondem a números primos, ao passo que 80,85% constituem estruturas compostas. Esse comportamento reflete o decréscimo assintótico relativo da densidade de números primos em função do crescimento do domínio numérico.

Por fim, propõe-se a extensão analítica do estudo para o intervalo compreendido entre 168 e 288, com o escopo de aprofundar o mapeamento distributivo dos números primos e compostos, bem como chancelar a consistência estatística dos padrões estruturais observados nas seções precede

Tabela 8. esta tabela demonstra os números primos e compostos no intervalo de 168 a 288 (números primos + números compostos)

Fonte – o autor

No intervalo compreendido entre 288 e 360, identificam-se como números primos os seguintes elementos: 173, 307, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283. Esses valores absolutos constituem o conjunto canônico de números primos observados na referida partição numérica.

Ao se considerar especificamente os numerais adjacentes aos múltiplos de seis — isto é, aqueles gerados pela forma linear 6k mais ou menos 1, verifica-se que aproximadamente 43,47% desses números são primos, ao passo que uma média de 56,51% constitui números compostos. Os elementos compostos mapeados nesse subconjunto são: 169, 175, 185, 187, 203, 205, 209, 215, 217, 221, 235, 245, 247, 253, 259, 265, 275, 287. Entre esses termos compostos, destacam-se o quadrado perfeito 17² = 289, enquanto os demais elementos resultam de produtos de fatores primos em que pelo menos um dos determinantes é estritamente menor que o número primo 19. Esse resultado infere que tais estruturas funcionam como balizadores para a verificação de primariedade no intervalo, embora uma parcela significativa da amostragem ainda corresponda a números compostos.

Estudo dos números primos no intervalo a seguir.

Tabela 9. estuda dos números no intervalo entre 288 e 360

Fonte: o autor

No intervalo compreendido entre 288 e 360, identificam-se como números primos os seguintes elementos: 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353 e 359. Esses valores absolutos constituem o conjunto de números primos observados na referida partição numérica.

Ao se considerar especificamente os numerais adjacentes aos múltiplos de seis — isto é, aqueles gerados pela forma linear 6k mais ou menos 1 —, verifica-se que aproximadamente 43,47% desses números são primos, ao passo que uma média de 56,51% constitui números compostos. Os elementos compostos mapeados nesse subconjunto são: 289, 299, 301, 305, 319, 323, 325, 329, 335, 341, 343 e 355. Entre esses termos compostos, destacam-se o quadrado perfeito 17² = 289, enquanto os demais elementos resultam de produtos de fatores primos em que pelo menos um dos determinantes é estritamente menor que o número primo 19. Esse resultado infere que tais estruturas funcionam como balizadores para a verificação de primariedade no intervalo, embora uma parcela significativa da amostragem ainda corresponda a números compostos. Números primos no intervalo em estudo.

Tabela 10. intervalo entre 360 a 528

Fonte – o autor

No intervalo de 360 a 528, os elementos primos validados correspondem aos seguintes valores: 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521 e 523. Dentre os numerais estruturados na forma linear

6k mais ou menos 1 (adjacentes aos múltiplos de seis), constata-se uma média de 46,428571...% de números primos e 53,571429...% de elementos compostos. Sob a perspectiva da totalidade dos números inteiros contidos na referida partição, observa-se que 15,4761190...% correspondem a números primos, ao passo que os 84,523881...% restantes constituem números compostos.

A etapa subsequente da investigação compreende a análise do intervalo de 528 a 840, que abrange uma amplitude total de 312 números inteiros. Conforme se expande o limite superior da escala numérica, verifica-se a tendência assintótica de retração percentual dos números primos e o consequente incremento dos elementos compostos; tal comportamento decorre do acúmulo de fatores primos basais, os quais elevam a densidade de compostos indexados nas classes de resíduos 6k mais ou menos 1, ampliando a ocorrência de valores não primos dentro do domínio amostral.

Os números primos identificados nesse intervalo (528 a 840) são mapeados no subconjunto: {541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839}. Esse grupo totaliza 46 elementos primos, o que equivale a 14,743589...% da totalidade dos inteiros da faixa, deixando uma fração de 85,256411...% de números compostos para o intervalo global. Restringindo o escopo analítico estritamente aos termos que antecedem ou sucedem os múltiplos de seis nessa partição, a distribuição registra 42,592592...% de elementos primos frente a 57,4074...% de estruturas compostas.

Vamos demonstrar os números primos no próximo intervalo, (840 a 960).

Tabela 11. intervalo entre 528 a 840

Fonte – o autor

Vamos demonstrar os números primos no próximo intervalo, (840 a 960).

Tabela 12. o intervalo entre 840 a 960

Fonte – o autor

Os elementos primos identificados no intervalo sob análise correspondem aos seguintes valores: 853, 857, 859, 863, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947 e 953. Restringindo o escopo analítico exclusivamente aos numerais adjacentes aos múltiplos de seis (da forma 6k mais ou menos 1), constata-se que 40% correspondem a números primos, ao passo que os 60% restantes constituem estruturas compostas. Sob a perspectiva do domínio global da referida partição, os números primos representam 13,33333...% do total de termos, enquanto os elementos compostos perfazem 86,666667...%.

No próximo intervalo demonstrado, observa-se que os elementos compostos indexados entre os antecessores e sucessores de múltiplos de seis configuram-se como múltiplos dos números primos compreendidos no intervalo que se estende desde o número 5 — o elemento inicial do conjunto dos inteiros a anteceder um múltiplo de 6 — até o número primo 31, o qual demarca o limite inferior da seção em estudo.

Os números primos mapeados na planilha subsequente são: 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361 e 1367. Nessa região amostral, quantificam-se 57 elementos primos. Esse volume equivale a 13,97058823...% da totalidade de inteiros do intervalo global. Quando isolados apenas os termos gerados pelas classes de resíduos 6k mais ou menos 1, a distribuição registra 41,91176470...% de números primos face a 58,0882353...% de estruturas compostas.

Vamos ao intervalo (1368 – 1680).

Tabela 13 e 14. intervalo entre 960 e 1368

Vamos ao intervalo (1368 – 1680).

Fonte – o autor

No intervalo sob análise, mapeiam-se os seguintes 44 elementos primos: 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, (1427, 1429), 1433, 1439, 1447, (1451, 1453), 1459, 1471, (1481, 1483), (1487, 1489), 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, (1607, 1609), 1613, (1619, 1621), 1627, 1637, 1657, 1663 e (1667, 1669). Restringindo o escopo analítico estritamente aos numerais gerados pelas classes de resíduos adjacentes aos múltiplos de seis (da forma linear 6k mais ou menos 1), essa amostragem quantifica uma densidade de aproximadamente 42,307692...% de números primos face a 52,692308...% de estruturas compostas.

Tabela 15. intervalo entre 1680 a 1848

Fonte – o autor

No intervalo delimitado entre 1680 e 1848, mapeiam-se os seguintes elementos primos: 1693, (1697, 1699), 1709, (1721, 1723), 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, (1787, 1789), 1801, 1811, 1823, 1831 e 1847. Ao isolar o escopo analítico apenas para os termos gerados pelas classes de resíduos adjacentes aos múltiplos de seis (da forma linear 6k mais ou menos 1), constata-se uma distribuição de 35,714285...% de números primos face a 64,285715...% de estruturas compostas. Sob a perspectiva macroscópica de todo o domínio numérico contido nessa partição, os números primos representam 11,904761...% do total, ao passo que os 88,095239...% restantes constituem números compostos.

Tabela 16. intervalo entre 1848 a 2208

Fonte – o autor

No modelo de representação em matriz analítica (planilha) adotado, aplica-se uma codificação cromática distinta para a segregação dos elementos: os números primos são destacados em pigmentação amarela, enquanto os números compostos recebem colorações diferenciadas de acordo com suas propriedades fatoriais. Essa diferenciação visual visa mapear as especificidades estruturais dos compostos — sejam eles produtos de fatores primos distintos ou potências, os quais emergem exclusivamente nas classes de resíduos adjacentes aos múltiplos de seis (da forma linear 6k mais ou menos 1). Por conseguinte, estabelece-se um sistema multifatorial multifásico para a identificação célere de elementos primos e compostos nessa distribuição. Adicionalmente, ressalta-se que os números pares e os múltiplos de três foram previamente omitidos do escopo de amostragem dessa planilha, dado que tais classes não integram as famílias de resíduos de interesse para o mapeamento da primariedade e da composição estrutural sob análise.

Conjunto dos números primos: {2,(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), 23, (29, 31), 37, (41, 43), 47, 53, (59, 61), 67, (71, 73), 79, 83, 89, 97, (101, 103), (107, 109), 113, 127, 131, (137, 139), (149, 151), 157, 163, 167, 173, (179, 181), (191, 193), (197, 199), 211, 227, 233, (239, 241), 251, 257, 263, (269, 271), 277, (281, 283), 293, 307, (311, 313), 317, 331, 337, (347, 349), 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, (419, 421), 431, 439, 443, 449, 457, (461, 463), 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, (521, 523), 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, (599, 601), 607, 613, (617, 619), 631, (641, 643), 647, 653, (659, 661), 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, (809, 811), (821, 823), (827, 829), 839, 853, (857, 859), 863, (881, 883), 887, (907, 911), 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, (1031, 1033), 1039, (1049, 1051), (1061, 1063), 1069, 1087, (1091, 1093), 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, (1151, 1153), 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, (1229, 1231), 1237, 1249, 1259, (1277, 1279), 1283, (1289, 1291), 1297, (1301, 1303), 1307, (1319, 1321), 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, (1427, 1429), 1433, 1439, 1447, (1451, 1453), 1459, 1471, (1481, 1483), (1487, 1489), 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, (1607, 1609), 1613, (1619, 1621), 1627, 1637, 1657, 1663, (1667, 1669), 1693, (1697, 1699), 1709, (1721, 1723), 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, (1787, 1789), 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, (1871, 1873), (1877, 1879), 1889, 1901, 1907, 1913, (1831, 1933), (1949, 1951), 1973, 1979, 1987, 1993, (1997, 1999), 2003, 2011, 2017, (2027, 2029), 2039, 2053, 2063, 2069, (2081, 2083), (2087, 2089), 2099, (2111, 2113), (2129, 2131), 2137, (2141, 2143), 2153, 2161, 2179, 2203, 2207,

O presente trabalho expõe um método determinístico para a identificação de números primos, caracterizado por sua elevada acurácia e consistência analítica. A aplicabilidade do algoritmo proposto foi validada empiricamente até a ordem de grandeza de 10⁶ (casa dos milhões), apresentando escalabilidade potencial para domínios numéricos superiores. A robustez computacional do sistema assegura a integridade dos resultados obtidos, mitigando vieses de processamento. Eventuais inconsistências na classificação dos elementos em intervalos específicos não decorrem de limitações intrínsecas ao modelo teórico, mas sim de variáveis operacionais humanas associadas à inserção ou manipulação de dados. Por conseguinte, o controle rigoroso dos parâmetros de entrada e a auditoria sistemática dos processos configuram-se como etapas mandatórias para salvaguardar a precisão, a reprodutibilidade e a confiabilidade das partições numéricas estabelecidas pelo método. Demonstrando os números primos nas centenas.

Tabela 17. números primos na primeira centena

Fonte – o autor

Apresenta-se a distribuição dos elementos primos na primeira centena de inteiros, segmentada pelas partições lineares constituintes: o primeiro intervalo (1 - 6), o segundo intervalo (6 - 25), o terceiro intervalo (25 - 48) e o quarto intervalo (48 - 120). Nesse domínio elementar inicial, coexistem números compostos definidos por números pares, múltiplos de três, além de produtos e potências de bases primas, a saber: (25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95). Para a otimização e a simplificação determinística do processo de identificação dessas estruturas compostas, adota-se a metodologia de análise por intervalos discretos. Na segunda centena, correspondente ao domínio [100, 200], o conjunto dos primos abrange a seção terminal do quarto intervalo (48 - 120), a totalidade do quinto intervalo (120 - 168) e a seção inicial do sexto intervalo (168 - 288). Ressalta-se que, nos intervalos mapeados em sua completude, as propriedades aritméticas comportam-se de maneira regular, chancelando a aplicação uniforme da mesma abordagem metodológica a todos os elementos da partição.

Nas dezenas em que os múltiplos de seis terminam com os algarismos das unidades iguais a (2 e 8), verifica-se a ocorrência simétrica de dois elementos antecessores e dois sucessores adjacentes a esses múltiplos; tal configuração comporta o potencial máximo de até quatro números primos, viabilizando a formação de dois pares de números primos gêmeos. Em contrapartida, nas dezenas cujos múltiplos de seis apresentam unidades correspondentes a (4 - 0), a estrutura restringe-se a dois antecessores e apenas um sucessor, limitando a primariedade a no máximo dois elementos e inviabilizando a ocorrência de primos gêmeos nessa faixa. Analogamente, nas dezenas cujos múltiplos de seis possuem unidades no intervalo (0 - 6), identificam-se dois termos sucessores e somente um antecessor adjacente, resultando em até dois números primos e na ausência de pares gêmeos. Conclui-se, nesta etapa, a demonstração sistemática dos elementos primos pertencentes à segunda centena.

Tabela 18. números primos na segunda centena

Fonte – o autor

Tabela 19. intervalo 12.768 a 16.128